Page 1337 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

如果我们取绝对值, 然后使用形如 |a - b| - |a| + |b| 的三角不等式,

将得到

因此, 你通过选取 ε > 0 来移动, 然后我会将 x = a 附近的那扇小窗

变窄, 使得在这扇小窗中, |f (x) - L| < ε 且 |g (x) - M| < ε. 现在, 我

需要变得更加聪慧. 你看, 我知道 M - ε < g (x) < M + ε, 这表示 |g

(x)| > |M| - ε. 如果右边的量 |M| - ε 为正, 那么一切不成问题; 但是

如果它是负的, 将不会告诉我们任何信息, 因为我们已经知道 g (x) 不

可能是负的. 因此, 如果 ε 足够小, 那么我就不担心了; 但是如果它大

一点的话, 我就需要将我的那扇小窗变窄, 使得 |g (x)| > |M| /2. 总

之, 在这个区间上, 我们有三个不等式成立：

中间的那个不等式颠倒过来为