Page 1354 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

更直观的一种表达方式是, 当 x → ∞ 时 1/x → 0, 故当 x → ∞ 时 sin

(1/x) → sin (0) = 0.

A.4.2 介值定理的证明

在 5.1.4 节中, 我们见过介值定理, 它表明如果 f 在 [a, b] 上连续, 且

f (a) < 0 及 f (b) > 0, 那么存在某个数 c 使得 f (c) = 0. 现在, 我们

来看看证明此定理的基本思想.

我们考虑区间 [a, b] 上使得 f (x) < 0 的 x 值的集合. 我们知道 a 在

这个集合中, 因为 f (a) < 0; 而 b 不在这个集合中. 我们想要求出此集

合中最大的数 c, 但这或许不太可能. 例如, 小于 0 的最大数是什么

呢？没有. 对于任意的负数, 你总是可以找到一个接近 0 的负数, 例如,

将你的数除以 2. 另一方面, 我们可以找到此集合中右边穿插的一个数

c. 特别地, 我们可以坚持说此集合中没有哪个元素在 c 的右边, 而且任

意带有端点 c 的开区间至少包括此集合中的一个元素. (这来自于实轴

的一个很好的性质 —— 完备性. ) 以下是我们知道的, 用符号表示：

(1) 对于任意的 x > c, 我们有 f (x) ≥ 0;

(2) 对于任意的区间 (c - δ, c), 其中 δ > 0, 区间内至少存在一点 x 使

得 f (x) < 0. 现在该忙起来了. 以下就是重要的问题：f (c) 是什么？

我们假设它是负的. 在这种情况下, 由于 f (b) > 0, 故 c ≠ b. 因为 f

是连续的, 所以当 x 在 c 的附近时, f (x) 的值应该在 f (c) 的附近; 但