Page 170 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

4.3 x → ∞ 时的有理函数的极限

现在, 让我们回到有理函数, 但这次要看看当 x → ∞ 而不是某个有限

的值时会有什么情况发生. 用符号表示, 现在想要求极限

其中 p 和 q 是多项式. 现在, 这里有一个非常重要的多项式性质：当

x 很大时, 首项决定一切. 这就是说, 如果你有一个多项式 p, 那么当 x

变得越来越大时, p (x) 的表现就好像只有它的首项存在一样. 例如,

2
3
3
假设 p (x) = 3x - 1000x + 5x - 7. 让我们设 p (x) = 3x , 它就
L
是 p 的首项. 这里我要说的是：当 x 变得非常非常大时, p (x) 和 p L

(x) 会相对地非常接近. 更确切地说, 我们有

在明白为什么上式成立之前, 先来看一下它想要表达的意义. 想象一下

如果没有极限符号, 这个等式将是

这意味着 p (x) = p (x). 很明显这不是真的 (至少对于绝大多数的 x
L

值来说), 但随着 x 越来越大, 该等式就会越来越趋近于是真的. 那么为