Page 173 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

们要分别考虑这四个量. 第一个是 1, 不管 x 是什么, 它总是 1. 第二

个量是 -1000/3x. 当 x 变大时, 它会怎么样呢？也就是说,

1
如果极限不是有限的, 它就不成立! 试考虑 . 对于任意的 x, 都有 (x +

(1 - x)) = 1, 因此, 此极限是 1. 另一方面, 这两个单独的 (x) 和 (1 - x) 的极限是

和 . 第一个极限是 ∞, 第二个极限是 -∞, 但 ∞ + (-∞) = 1 不成立. 事实上, 表

达式 ∞ + (-∞) 是无意义的.

是什么呢？这里的诀窍是, 意识到你可以将因子 -1000/3 提出来. 特

别是, 该极限可以表示为

由于 -1000/3 是常数, 不管 x 是什么, 它都不会改变. 因此, 把它拖到

极限符号之外 (更多详情参见附录 A 的 A.2.2 节). 于是有

我们已经知道, 一个非常大的数的倒数是一个非常小的数 (记住, 这意

味着一个非常接近于零的数). 因此, , 而 -1000/3 乘上此

极限还是 0. 于是结论是