Page 207 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

1 在 x = 1 和 x = 2 之间有一个 x 轴截距. 你只需注意到, 由于它是

一个多项式, 所以 p 是处处连续的 (包含 [1, 2]); 此外, 计算 p (1) =

4 > 0 且 p (2) = -9 < 0. 由于 p (1) 和 p (2) 的符号相反, 且 p 在

[1, 2] 上连续, 我们知道在区间 (1, 2) 上至少存在一点 c 使得 p (c)

= 0. 数 c 就是多项式 p 的一个 x 轴截距.

接着是一个稍微难一点的例子. 如何证明方程 x = cos (x) 有一

个解呢？不需要求出解来, 只需要证明存在一个解. 可以先在同一坐标

轴上画出 y = x 和 y = cos (x) 的图像. 如果这样做了, 就会发现图像

的交点的 x 轴坐标在 π/4 附近. 不过这样的图像式论证, 虽然不无说服

力, 但对于一个数学证明来说, 还远远不够. 那么如何能够做得更好

呢？

第一步是使用一个小窍门：将所有表达式放到等号左边. 因此, 我们试

着来求解 x - cos (x) = 0, 而不是求解 x = cos(x). 现在, 设 f (x) =

x - cos (x). 如果可以证明存在数 c 使得 f (c) = 0 的话, 任务就算完

成了. 来检验一下这是否说得通：如果 f (c) = 0, 那么 c - cos (c) =

0, 因此 c = cos (c), 于是就找到了方程 x = cos (x) 的一个解, 它就

是 x = c.

现在, 该使用介值定理了. 我们需要找到两个数 a 和 b, 使得 f (a) 和 f

(b) 其中一个是负的而另一个是正的. 由于从图像中可知答案会在 π/4

附近, 我们将保守地选取 a = 0 和 b = π/2. 来检验一下 f (0) 和 f