Page 208 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(π/2) 的值吧. 首先, f (0) = 0 - cos (0) = 0 - 1 = -1, 它是负的; 其

次, f (π/2) = π/2 - cos (π/2) = π/2 - 0 = π/2, 它是正的. 由于 f 是

连续的 (它是两个连续函数的差), 根据中值定理可以得出, 在区间 (0,

π/2) 上存在某个数 c 使得 f (c) = 0, 于是证明了 x = cos (x) 有一个

解. 我们不知道解在哪里, 也不知道会有多少解, 只是知道在区间 (0,

π/2) 上至少有一个解. (注意, 解实际上不是 π/4! 事实上, 不可能找到

一个有关解的很好的表达.)

这里有一个稍有不同的变体. 到目前为止, 都是规定 f (a) < 0 且

f (b) > 0 (或反过来), 然后得出结论, 在 (a, b) 上存在一点 c 使得 f

(c) = 0. 然而现在, 可以用任意数 M 来替换 0, 且结果依然成立. 因此,

假设 f 在 [a, b] 上连续; 如果 f (a) < M 且 f (b) > M (或反过来), 那

x
么在 (a, b) 上存在一点 c 使得 f (c) = M . 例如, 如果 f (x) = 3 +

2
x , 那么方程 f (x) = 5 有解吗？显然 f 是连续的; 我们也可以猜出解

在 0 和 2 之间, 这样会有 f (0) = 1 和 f (2) = 13. 由于数 1 和 13

夹着目标数 5(一个小一点而另一个大一点), 介值定理告诉我们, 对于

(0, 2) 上的某个 c 有 f (c) = 5.

这就是说, f (x) = 5 确实有解. 现在试着以一个新的函数 g 来重

2
x
新做一遍, 其定义为 g (x) = 3 + x - 5. 可以看出, 如果 f (x) = 5
有一个解是 c, 那么 c 也是 g (x) = 0 的解. 由于 g (0) < 0 且 g (2)