Page 209 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

> 0, 你可以使用先前的方法而不是上面的变体! 事实上, 变体并没有给

我们提供任何新的东西, 它只是有时候会让生活变得更简单些.

5.1.5 一个更难的介值定理例子

最后一个例子：证明任意的奇数次多项式至少有一个根. 这就是

说, 令 p 是一个奇数次多项式, 我断言, 至少有一个数 c 使得 p (c) =

2
0. (这对于偶数次多项式不成立. 例如, 二次的 x + 1 没有根, 其图像

和 x 轴不相交.) 可是如何来证明我的断言呢？

事实上, 这里的关键可以追溯到 4.3 节. 在那里, 如果 p (x) 是任意的

n
多项式, 且其首项为 a x , 那么
n

且 .

n
因此, 当 x 变得非常大时, p (x) 和 a x 会相对地非常接近 (它们的比
n
值接近于 1). 这意味着, 它们至少有相同的符号! 不可能是一个负一个

正, 否则它们的比值为负, 而不是接近于 1. 当 x 是一个非常大的负数

时, 情况也是如此.

n
因此, 假设 A 是一个很大的负数, 使得 p (A) 和 a A 有相同的符号.
n
n
此外, 选取一个非常大的正数 B, 使得 p (B) 和 a B 有相同的符号. 现
n
n
n
在, 比较一下 a A 和 a B 的符号. 由于 n 是一个奇数, 它们的符号
n
n