Page 210 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

n
一定相反! 一个为正而另一个为负. 例如, 如果 a > 0, 那么 a B 为
n
n
n
正且 a A 为负. (这只有当 n 是奇数时才成立：如果 n 是偶数, 那么
n
这两个量均为正.) 因此, 有

所以 p (A) 和 p (B) 的符号相反. 由于 p 是一个多项式, 它是连续的,

于是根据介值定理, 在 A 和 B 之间有一个数 c, 使得 p (c) = 0. 这就

是说, p 有一个根, 尽管不知道它在哪儿. 这也没办法, 毕竟不知道 p 是

什么样子的多项式, 只知道它是奇数次的.

5.1.6 连续函数的最大值和最小值

接着来看知道一个函数是连续的所带来的第二个好处. 假设有一个函数

f , 它在闭区间 [a, b] 上连续. (这里区间的两个端点都是闭的非常重

要.) 这意味着, 可以拿笔放在点 (a, f (a)) 上, 由此出发, 笔不离纸地画

一条曲线, 并结束于点 (b, f (b)). 这里的问题是, 能画多高？换句话说,

这条曲线能够达到的高度有限度吗？回答是肯定的, 一定有一个最高

点, 尽管曲线可以多次达到最高点.

用符号表达即为, 定义在区间 [a, b] 上的函数 f 在 x = c 处有一个最

大值, 如果 f (c) 是 f 在整个区间 [a, b] 上的最大值. 即对于区间上所

有的 x, f (c) ≥ f (x). 这里我试图传递的基本思想是, [a, b] 上的连续