Page 212 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

那么为什么需要函数 f 是连续的？并且, 为什么不能是一个像 (a, b)

那样的开区间？图 5-7 显示了一些潜在的问题.

图 5-7

在第一幅图中, 函数 f 在区间 [a, b] 的中间有一条渐近线, 它当然会产

生一个不连续点. 该函数没有最大值, 它只会在渐近线的左侧无限上升.

类似地, 它也没有最小值, 因为它会在渐近线的右侧无限下降.

第二幅图涉及一个更微妙的情况. 这里函数只在开区间 (a, b) 上连续.

显然该函数在 x = c 处有一个最小值, 但它的最大值是什么呢？你或

许会想它出现在 x = b 处, 但再想想看. 该函数在 x = b 处没有定义!

因此, 它不可能在那里有一个最大值. 如果该函数有一个最大值, 那么

它一定在 b 附近的某处. 事实上, 你想要的是一个小于 b 并接近于 b

的数. 很不幸, 没有这样的数! 无论你想到一个多么接近于 b 的数, 你

总是可以取该数与 b 的平均数得到另一个更接近于 b 的数. 因此, 该函

数没有最大值. 这说明, 为了确保可以使用最大值与最小值定理, 连续

性区间必须是闭的.