Page 211 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

函数在区间 [a, b] 上有最大值. 对于类似的问题, “能画多低”, 我们也

有同样的说法, 即 f 在 x = c 处有一个最小值, 如果 f (c) 是 f 在整个

区间 [a, b] 上的最小值. 即对于 [a, b] 上所有的 x, f (c) ≤ f (x). 再

一次地, 区间 [a, b] 上的任何连续函数在该区间上都有最小值. 这些事

实构成一个定理, 有时被称作最大值与最小值定理, 它可以陈述如下：

图 5-6 是一些关于 [a, b] 上的连续函数及其最大值与最小值的例子.

图 5-6

在第一幅图中, 函数在 x = c 处取得最大值并在 x = d 处取得最小值.

在第二幅图中, 函数在 x = c 处取得最大值而在左端点 x = a 处取得

最小值. 在第三幅图中, 最大值在 x = b 处, 而最小值在 x = c 和 x =

d 上. 这是可以接受的 (允许有多个最小值, 只要至少有一个). 最后, 第

四幅图展示了一个常数函数, 它是连续的; 事实上, 由于该函数绝不会

高于或低于常数 C, 所以区间 [a, b] 中的每一个点既是最大值也是最

小值.