Page 247 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

6.2 用更好的办法求导

所有这些折腾极限的求导不免有些烦琐乏味. 幸运的是, 一旦你做完了

它们, 就可以根据一些简单的法则由已经求得的导数来构造其他的导数

了. 让我们定义一个函数

对类似这样一个函数求导的关键是, 理解它是如何由简单函数合成的.

在 6.2.6 节, 我们将会看到如何使用简单的运算 (函数的常数倍、函数

a
的加法、减法、乘法、除法以及复合函数) 用形如 x 的原子来构造 f ,

a
而对于 x 我们已经知道如何求导了. 首先, 需要看看求导将如何受到

这些运算的影响; 然后, 再回来求以上那个难以处理的函数 f 的 f' (x).

(以下法则的正式证明参见附录 A 中的 A.6 节, 而在 6.2.7 节中会有对

其中一些法则的直观证明.)

6.2.1 函数的常数倍

处理一个函数的常数倍很容易：只需在求导后, 用常数乘以该函数

2
2
的导数就可 以了. 例如, 我们知道 x 的导数是 2x, 因此 7x 的导数
2
就是 7 倍的 2x, 即 14x. -x 的导数是 -2x, 因为你可以认为前面的负
a
号是用 -1 做乘法的结果. 事实上, 有一个简单的方法来求 x 的常数倍