Page 304 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在, (3x) 和 (5x) 这两项可以消去公因子 x, 得到 3/5, 而所有其他分

式的极限趋于 1, 因此整个极限就是 3/5.

有一点你必须非常小心：说当 x 非常小时, sin (x) 表现得就像 x, 这只

有在乘积或商的语境中才成立. 例如, 极限

就不能用本章介绍的方法进行求解. 说 sin (x) 表现得像 x, 故 x -

sin (x) 表现得像 0, 这是错误的. (事实上, 除了常数函数 0 本身, 没有

函数表现得像 0!) 为了求解以上极限, 需要洛必达法则 (参见第 14 章)

或麦克劳林级数 (参见第 24 章). 另一方面, 下面这个类似难度的极限

却是我们现在可以求解的：

同样, 你不能说, 当 x 非常小时, cos (x) 表现得就像 1, 故 1 - cos 2

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(x) 表现得就像 1 - 1 = 0. 因此, 我们使用 cos (x) + sin (x) = 1
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来将分子重写为 sin (x)：

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由于 sin (x) 是 (sin (x)) 的另一种写法, 可以将极限重写为