Page 308 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

作相同的操作, 得到

(如果 x < 0, 也就是说, 当 x → -∞ 时, 那么用负的 x 做乘法意味着,

你必须将所有的小于或等于号反转变成大于或等于号. 不然的话, 会得

到同一个解.) 不管怎样, 这解决了分子的问题. 但我们还需要除以分母.

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由于 2x > 0, 可以将以上不等式除以 2x , 得到

万事俱备, 只欠东风. 现在我把它留给你, 请使用 4.3 节中的方法

证明, 当 x → ∞ 时, 外层两项的极限均为 0, 即

和 .

(别犯懒! 这些都是相当简单的极限, 你现在应该试着验证它们.) 现在,

我们应用三明治定理. 由于原始函数被夹在两个 x → ∞ 时都趋于 0 的

函数之间, 因而它也趋于 0. 也就是说,

由不等式 -1 ≤ sin (x) ≤ 1 以及 (cos (x) 的类似不等式) 可得到

的另一个结论是, 你可以将 sin (任何东西) 或 cos (任何东西) 看作比