Page 307 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这时应用三明治定理 (参见 3.6 节) 就相当方便了. 事实上, 我们在 3.6

节已经看到

不妨马上回去重温一下证明.

回过头来, 还记得当 x 变小时, cos (x) 是有所不同的吗？不像 sin (x)

和 tan (x), 它不像 x. 另一方面, 当 x 变大时, tan (x) 也有所不同. 对

于 tan (x) 来说, 没有类似于上面方框中关于 sin (x) 和 cos (x) 的不

等式. 这是因为当 x 变大时, tan (x) 有垂直渐近线并且永远不会停下

来 (参见 2.3 节 tan (x) 的图像).

这儿有一个使用三明治定理的更难的例子：求

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直觉告诉我们, sin (11x ) 这一项无足轻重, 因此分子其实与 x 相当.
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而分母中的 x 应该较分子的 x 占压倒性优势, 因此当 x → ∞ 时, 整个

表达式应该是趋于 0 的. 为了证明这一点, 首先来看看分子. 我们知道

任何数的正弦都在 -1 和 1 之间, 因此,

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成立. 不过分子不只是 sin (11x ), 需要用 x 和它相乘然后再减去

1/2. 事实上, 对于任意的 x > 0, 可以对以上不等式的所有三 “方” 都