Page 311 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

的). 因此, 我们所能做的就是, 结合任何数的正弦在 -1 和 1 之间这一

事实, 使用三明治定理. 特别是, 对于任意的 x, 我们有

现在, 有人可能会想用 x 和以上不等式相乘, 得到

但不幸的是, 这只有当 x > 0 时成立. 例如, 如果 x = -2, 那么不等式

的最左边会变成 2, 最右边会变成 -2, 这简直是疯了. 因此, 先来考虑一

下右极限：

+
现在, 可以使用以上不等式并注意到, 当 x → 0 时, -x 和 x 都趋于 0,
-
因此三明治定理适用, 上述极限是 0. 至于左极限 (当 x → 0 时), 我们

以相同的 的不等式出发, 并将之乘以 x. 但这一次, 由于 x 是负

的, 必须反转不等号. 特别是, 当 x < 0 时, 有

-
不过这也没有太多区别. 当 x → 0 时, 外层的两个量仍然趋于 0, 因此

中间的量也趋于 0. 由于左极限和右极限都是 0, 故双侧极限也是 0; 我