Page 312 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

们证明了

(这个例子与 3.6 节的例子非常相似.)

7.1.4 “其他的” 情况

考虑极限

这次的三角函数是余弦, 且要在 π/2 的附近求值. 这既不是小数的情况

也不是大数的情况, 因此很明显, 之前的情况都不适用. 如果你只是将 x

= π/2 代入上式的话, 会得到 0/0 的不定式, 这可真要命. 不过要是你

了解三角函数的性质的话, 有时你也会绝境逢生. 下面就是原因.

面对 x → a 的极限, 而 a ≠ 0 时, 有一个很好的一般原则, 那就是用 t

= x - a 作替换, 将问题转化为 t→ 0. 因此, 在以上极限中, 设 t = x -

π/2. 当 x → π/2 时, 你可以看到 t → 0. 由于 x = t + π/2, 则有

注意到我们仍然需要知道余弦在 π/2 附近的行为 (通过设 t 接近于 0,

可以看到你要取的是什么的余弦). 替换并没有改变这一事实. 这里需要