Page 314 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

证明显然需要借助直角三角形的几何学, 因为那也正是正弦函数诞生的

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地方. 让我们先从右极限 (x → 0 ) 开始. 一旦做到了这一步, 我们会发

现双侧极限其实相当简单. 因此, 先假设 x 接近于 0 但为正. 让我们来

画一个以 O 为中心、夹角为 x、半径为 1 的扇形 OAB, 如图 7-2 所

示. 我们将对这幅图进行一些操作, 但首先有一个问题：这个扇形的面

积是什么呢？ 不妨想象这个扇形是一整块比萨中的一片. 这块比萨的

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半径为 1 个单位, 因此它的面积是 πr = π 平方单位. 现在, 这一片占

整块比萨的多少呢？整块比萨有 2π 弧度的角, 而这一片的夹角是 x,

因此这一片占整块比萨的 x/2π. 故其面积为 (x/2π)×π, 即 x/2 平方单

位. 也就是说,

扇形 OAB 的面积 = 平方单位.

(这里有一个一般公式：夹角为 x 弧度、半径为 r 个单位的扇形的面积

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就是 xr /2 平方单位.)