Page 318 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(要记住, 这对于任意的介于 0 和 π/2 的 x 都成立.) 现在, 使用三明治

定理：由于 cos (0) = 1 且 y = cos (x) 是连续的, 我们知道

; 同样, ; 而量 sin (x) /x 被夹在 cos (x) 和 1

+
之间, 当 x → 0 时, 后两者都趋于 1. 因此根据三明治定理,

这样就求出了右极限.

我们仍然需要处理左极限并证明

如果可以做到的话, 那么就证明了左极限与右极限均为 1, 因此双侧极

限也是 1, 这样就完成了证明.

为了证明左极限是 1, 我们设 t = -x. 那么当 x 是一个很小的负数时, t

-
+
是一个很小的正数. 用数学符号表达可以说, 当 x → 0 时, 有 t → 0 .
因此, 以上极限可以写作

由于 sin (-t) = -sin (t) (因为正弦函数是奇函数), 可以将以上极限简

化为