Page 491 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

11.2 罗尔定理

想象你正开车沿着高速公路行驶. 我看到你在一家加油站停了下来. 然

后你继续前行, 始终没有改变方向, 虽然你随时可以掉转方向. 过了一

段时间, 我又在这家加油站看见了你, 但我不曾跟着你, 看你在这段时

间里都做了什么. 我断定：在我不曾跟着看你的某个时刻, 你的车速为

零.

为什么我会有信心这样说？其实, 有可能你从来就没有离开过加油站,

这样的话, 你的速度一直为零. 而如果你确实离开过加油站, 并往前开,

那你最终必定在某处掉了头, 否则你不可能又回到加油站. 那么当你停

止前进开始掉头时会发生什么呢？你必定停下来过, 哪怕只是一瞬间!

你不可能掉转方向而不让车停下来. 这同我们在 6.4.1 节中研究过的上

抛球运动的情况相似. 在球到达最高点的这一瞬间, 它的速度为零.

另一方面, 你还有可能曾离开加油站, 并倒着开. 在这种情况下, 你也必

定曾在某个时刻将挡位由后退改为前进, 而结果是相同的：你在某处停

下来过. 无论你向哪个方向走, 你都可能停下来过很多次; 但我知道你

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至少停下来过一次. 这就是罗尔定理所讲的内容. 定理陈述如下.

3 关于罗尔定理的证明请参见附录 A 的 A.6.7 节.