Page 493 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

之间的任何值. 接下来, 看一下罗尔定理不适用的一些场合, 如图 11-7

所示.

图 11-7

在上面三个图中, 导数都不会为零. 但这也没有关系, 因为罗尔定理在

这三种情况下都不适用. 在第一个图中, 函数在开区间 (a, b) 内是不可

导的, 因为在 s 点有一个尖点. 是的, 即使函数在一个点上不可导, 这也

足以搞砸一切. 中间那个图, 函数是可导的, 但 f (a) ≠ f (b), 所以罗尔

定理不适用. 在右边的图中, f (a) = f (b) 且函数在开区间 (a, b) 内是

可导的, 但该函数在闭区间 [a, b] 内不是连续的：x = a 这点让一切

功亏一篑. 再一次地, 无法使用罗尔定理.

下面举一个罗尔定理应用的例子. 假设有一个函数 f 满足 f' (x) >

0 (对于所有的 x). 在 10.1.1 节中, 我们断言该函数一定满足水平线检

验. 让我们用罗尔定理配合反证法证明这一点. 首先假设 f 不满足水平

线检验, 那么一定会有一条水平线, 比如说 y = L, 它与图像相交两次或

更多. 假设这些交点中的两点的横坐标为 a 和 b, 则有 f (a) = f (b) =

L. 由于 f (a) = f (b), 所以可以用罗尔定理 (我们已经知道 f 是处处可