Page 538 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(7) 水平渐近线 仅需要考虑 , 因为 x → -∞ 的极限甚至说都

说不通. 而上述极限显然为 ∞, 因为随着 x → ∞, x 和 ln(x) 都趋于 ∞.

所以也没有水平渐近线.

(8) 导数的正负 通过使用乘积法则, 可以得出 f'(x) = ln(x) + 1 (正

-1
如在 11.5.1 节计算过的). 所以当 ln(x) = -1, 即 x = e = 1/e 时,

f'(x) = 0. 我们只需选在 x =0 和 x = 1/e 之间的一点, 以及大于 x =

1/e 的另一点. 不妨分别选 x =1/10 和 x =1. 注意到 f'(1/10) =

ln(1/10)+ 1 = - ln(10)+ 1, 它显然为负; 而 f'(1) = ln(1) + 1, 它为

正. 这样, f'(x) 的符号表格看上去如图 12-15.

图 12-15

(9) 最大值和最小值 通过上边的表格可以知道, 仅仅在 x = 1/e 点有

-1
-1
-1
局部最小值. 现在只需计算出 y 值：y = e ln(e ) = -e = -1/e.
所以局部最小值的坐标为 (1/e, -1/e), 正如我们在 11.5.1 节已经见到

的那样.

(10) 二阶导数的正负 由于 f'(x) = ln(x) + 1, 有 f'' (x) = 1/x. 又由

于函数 f 的定义域为 x > 0, 所以对于相关的 x, 都有 f'' (x) > 0. 这意