Page 647 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

可以简单地写为 e cos(100) - e cos(9) . 我们只需取 e cos(j) 这项, 用最后

的数 (100) 去替代 j, 用所得到的结果减去 e cos(j-1) 这项, 其中的 j 用

数 (10) 去代替. 你应该把这个求和展开, 然后看看消元法是否帮助你

得到了正确的答案.

还有另一个例子. 求

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注意, 这是个伸缩求和; 所以只需要取最后一项 (j - (j - 1) ) 并用 n
去替代第一个 j, 以及用 1 去替代第二个 j, 可得

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另一方面, (j - (j - 1) ) 这项化简后为 (j - (j - 2j + 1)), 即 2j - 1.
所以, 我们实际上证明了

仔细考虑这个求和, 会发现左边仅仅是前 n 个奇数的和. 例如当 n =

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5 时, 左边是 1+3+5+7+9, 这个和是 25. 这就是 5 ! 如果换个数取

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n =6, 这时左边为 1+3+5+7+9+11, 这个和为 36, 正好是 6 . 这

再次证明了我们的结论是正确的. 这样已经证明了前 n 个奇数的和为

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n .