Page 651 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

15.2 位移和面积

介绍了求和符号之后, 我们来花一些时间研究下面这个问题：

用符号来说明就是, 我们知道在 [a, b] 时间段内每一时刻 t 的速度 v(t), 想

要求出它的总位移 x(t). 我们已经知道反过来怎样计算：如果知道 x(t), 那

么 v(t) 就是 x' (t). 也就是说, 速度是位移对时间的导数. 为了解答这个问

题, 首先让我们看一些简单的例子.

15.2.1 三个简单的例子

考虑三辆车沿着一条笔直的高速公路向前行驶. 因为车一直都是向前行驶,

所以可以用速率和路程来分别代替速度和位移 (对于这个情况, 这两个说法

没有区别). 每一辆车都是在下午 3 点钟离开加油站, 下午 5 点钟结束旅行.

第一辆车匀速行驶, 在整个时间段内的平均速率为 50 英里/小时. 所以在

[3, 5] 这个时间段内的速率为 v(t) = 50. 很容易就能计算出这辆车所走的

路程, 我们仅仅需要使用这个公式：路程 = 平均速率 × 时间. 幸运的是, 对

于这道题, 因为是匀速运动, 所以平均速率 v 和即时速率 v 是一样的, 都
av

为 50. 所以有

路程 = v × t = 50 × 2 = 100.