Page 648 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们甚至可以举更多的例子. 可以把这个求和分解为

如果你怀疑这个表达式, 请用前五项去校验一下. 不用常规的写法

1+3+5+7+9, 这次我们写为 (2 - 1) + (4 - 1) + (6 - 1) + (8 - 1)

+ (10 - 1), 然后再重新安排一下得 (2 + 4 + 6 + 8 + 10) - (1 + 1

+ 1 + 1 + 1). 实际上, 可以从第一个括号中提出一个 2, 这样可得 2

× (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 根据上述的等式, 说明可以把常数 2 从第

一个和中提出并得到

把第二个和移到等式的右边, 这时, 等式的两边同时除以 2, 可得

2
最右边的求和是 n 个 1, 所以它实际上是 n. 等式右边为 (n + n)/2,

也可以被写为 n(n + 1)/2. 这样我们证明了这个有用的公式

当 n = 100 时, 该公式为