Page 660 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

3 点到 6 点的总路程为 40+60=100 英里. 另一方面, 因为该行驶过程的

第二部分为反向行驶, 所以它的位移却为 40 + (-60) = -20 英里. 这说明

这辆车最终离出发点相反的方向 20 英里.

现在请看上边的函数图像. 左边长方形的面积为 40(英里), 这个不是问题;

但右边长方形的面积很有趣, 它的底长 2(小时), 如果你认为它的高为

30(英里/小时), 这时, 会足够确信它的面积为 60(英里). 把这两个面积加到

一起为 40+60=100 英里, 也就是路程.

让我们再重新考虑第二个长方形. 假设我们说它的 “高” 为 -30(英里/小时),

因为该长方形在横坐标轴的下方. 当然, 一个长方形的高实际上是不可能为

负的, 但无论如何区分坐标轴上和下是很必要的. 所以如果它的高度为 -30,

面积为 2×(-30) = -60 英里. 让我们把这个负号去掉, 正确地把它标记为

有向面积. 我们的结论是：在坐标轴下方的面积为负. 如果这样做, 总面积

是 40(第一个长方形) 加上 -60(第二个长方形), 得到的面积为 -20. 我们刚

才计算的位移不就是 -20 嘛!

在上一节的公式中, 我们对时间段 [3, 6] 有一个分区 3 < 4 < 6. 第一个分

区的速度为 v = 40, 第二分区的速度为 v = -30. 所以有
1
2

在第二时间段内, 如果说速率 (而不是速度) v = 30, 那么总和为 40 × (4
2
- 3) + 30 × (6 - 4) = 100, 这就是我们刚才计算出的路程. 当然, 速率为