Page 800 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

为得到这个最后的化简结果, 我们需要知道基本的对数运算法则 (参见

9.1.4 节). 最好你能记住这些.

顺便说一下, 如果你目光锐利, 会注意到上述换元实际上是上一节最后

例子的特例. 这给了我们一个新方法去求解积分

让我们从不定积分开始, 把它重写为

注意分子正好是分母的导数, 所以我们要取分母的绝对值的对数, 得到

最后的答案为

现在为了计算这个定积分, 可以把原始的积分上下限 和

-1
, 一次一个地代入 ln | sin (x)| 表达式, 然后再求差. 我把计算的

细节留给你去做.

这儿有一个关于换元法的不同的问题. 在 16.1.1 节中, 我们说过

如果 f 是一个奇函数, 这时对于任何 a 都有 .