Page 802 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

18.1.2 如何换元

你怎样选择被替代的函数呢？这是个很好的问题. 基本思想是寻找其导

数也在被积函数中的那些部分. 在积分

-1
中, 我们选择 t = sin (x) 换元, 因为它的导数 也恰恰

在被积函数中. 在下列积分中这个方法也适用：

和 .

在以 t 为变量的情况下, 这些积分分别变为：

和 ,

前两个积分很容易观察出来, 但第三个就不那么容易了, 需要把平方根

拆开并观察使用换元法怎样计算

现在确定你能准确计算出上述以 t 为变量的积分, 然后可以再把

它们替换回以 x 为变量的积分. (对于第三个积分, 如果把 写为 t

-1/2 会方便我们计算. ) 无论怎样计算, 你都会分别得到