Page 804 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

关于计算 这种类型的积分, 我们有一个非常好的方法. 可以简

单地设 , 在求 dt 之前先两边同时 n 次方. 所以：

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所以, 我们设 . 为找到 dt, 把等式两端 5 次方, 得 t = 3x

+ 2. 现在把这个新的等式两端同时对合适的变量 (由链式法则决定) 求

5
4
4
导, 得 5t dt = 3dx. 5t 是 t 关于 t 的导数, 3 是 3x+2 关于 x 的
导数. 所以, 我们找到了可以用 t 表示 3 dx 的表达式, 等式两端同时除

以 3 就得到了 dx 的表达式. 在本例中有

(通过写出关于 x 的表达式 , 再两边同时对 t 求导也可得上

式.) 现在让我们重新看看这个积分. 该积分表达式有三项：x、

和 dx. 第二项就是 t, 我们已经找到了用 t 表示第三项的表达式. 那么

5
第一项 x 该怎么处理呢？我们知道 t = 3x + 2, 所以可以重新整理这

个等式得 . 这样, 这个积分表达式为

现在我们先做乘法然后再积分可得