Page 803 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

和 ,

把得到的每一个结果求导以校验我们的计算是否正确.

有时怎样换元并不很明显. 例如, 怎样计算积分

2x
2x
x
可能想象出来的替代为 t = e , t = e , t = e + 1. 后两个换元并
2x
不能解决问题, 因为在这两种情况中 dt = 2e dx, 但被积函数的分子

x
x
2x
中没有 e 这项. 所以我们设 t = e , 这时有 dt = e dx, 该项正好出
x 2
2
2x
现在分子. 至于分母, 我们可以把 e 改写为 (e ) , 这就是 t . 所以

-1
这个积分的结果为 tan (t) + C. 再把它换回以 x 为变量的积分, 有

对于任何常数 C 都成立. 我们可以对等式的右端求导来校验这个结果

是否正确.

我们再看一个例子：