Page 805 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

再回到以 x 为变量的积分：用 t = (3x + 2) 1/5 再替换得

你应该试着自己解决这个问题, 把你的解题思路写在计算过程的左

边, 就如前面例子中演示过的那样. 并且你也应该把所得的积分结果求

导, 校验是否会得到 . 顺便说一下, 你是否注意到这道题用的

换元法同我们以前的换元有何不同？确实有一点点不同. 在其他例子

中, 我们用的方程是 dt=(关于 x 的函数)dx, 然而在这个例子中我们写

为 . 这种写法对于计算很有帮助, 因为我们可以直接替代 dx.

在所有的其他例子中, 我们不得不找到一个已经存在的 x 的表达式的常

数倍才有机会化简. 在 19.3 节中, 我们将要看到能直接替代 dx 的其

他例子.

总的来说, 对于怎样换元没有硬性规定. 你需要跟着直觉走, 这个直觉

只有在你做了大量的习题之后才会越来越正确. 可以尝试任何你想到的

换元. 如果换元后的积分比原始的积分更糟糕, 或者你找不到任何方法

把每一个变量都化成 t 变量, 那也不要着急：你仅仅需要做的是再回到

原始积分, 然后尝试其他的换元.

现在, 在介绍分部积分法之前我需要再阐述两点. 第一点是换元方

法的识别, 我将在下一节介绍这点. 第二点是对换元法的总结, 即