Page 807 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

因为 t = g(x), 所以可得 dt = g' (x)dx, 这样上述方程可以转化为以

x 为变量的式子：

我所做的就是分别用 g(x) 替代 t, 用 g' (x)dx 替代 dt. 如果你想证明

这个替代是有效的, 我们需要证明上述等式是正确的. 设 h(x) = F

(g(x)), 根据链式法则 (参见 6.2.5 节第一部分), h' (x) = f' (g(x))g'

(x) 是正确的. 我们可以以不定积分的形式来表达：

因为 h(x) = F (g(x)), 我们有

现在, 因为 ∫ f (t)dt = F (t) + C, 所以 f' (t) = f (t); 因为 t = g(x),

我们有 F' (g(x)) = f (g(x)). 这样上述等式变为

这正是我们要证明的!