Page 806 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

对于不定积分, 用 t 和 dt 分别表示带有 x 的表达式和 dx, 然后再

求这个新的用 t 表达的积分, 最后再换回到 x;

对于定积分, 用 t 和 dt 分别表示带有 x 的表达式和 dx, 并且也要

把积分上下限换为与 t 相关, 这时计算这个新的积分 (没有必要再

回到以 x 为变量的状态). 当然也可以用另一个方法, 就是先把它

看成不定积分去计算结果, 然后再把积分上下限分别代入求最后的

结果.

18.1.3 换元法的理论解释

2
假设你想在某些积分中做这样的换元 t = x , 这样就得到 dt/dx
= 2x, 改写为 dt = 2x dx. 在某种意义下, 这是一种没有意义的陈述

—— 毕竟 dt 和 dx 没什么实际意义. 我们知道 dt/dx 是导数的一种表

示, 但在第 13 章中 dt 和 dx 仅仅被定义为微分. 所以 dt = 2x dx 究

竟意味着什么？一个好的解释是, 当 t 发生微小变化时, 它的变化量是

它所对应的 x 的微小变化量的 2x 倍. 实际上在 5.2.7 节中有过这种

类型的表达式. 你可以采用这种方式去观察它, 看怎样用黎曼和解释它,

但这里有一个更好的方式：仅仅使用链式法则.

设想你已经做了一个换元 t = g(x), 我们用以 t 为变量的 ∫f (t)dt 结束

求解, 设结果为 F (t) + C (C 为常数). 所以这个积分以 t 为变量可写

为