Page 808 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

顺便说一下, 这个漂亮的等式可以帮助我们证明一种换元法, 这种方法

恰恰就是我们在上一节最后例子之后讨论过的. (当我们学习 19.3 节

的三角换元法时, 将会一次又一次地见到这个方法). 第二种换元法是,

不设 t = g(x) 而是对于一些函数 g 设 x = g(t), 这样用 g' (t)dt 替代

dx. 在这种情况下, 最初的积分 ∫f (x)dx 现在变为

现在可以计算出这个积分了, 然后再回到以 x 为变量的积分上. 根据我

们刚才证明的漂亮的等式, 其中用 t 替代了 x, 我们看到上述积分等于

F (g(t)) + C, 其中 F 是 f 的反导数. 这时的结果恰恰就是 F (x) + C,

这正是我们想要的. 所以这个方法很有用, 我们证明了此换元法的合理

性.

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