Page 853 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

时间想到. 这个方法是分子分母同时乘以 (sec(x)+tan(x)). 看看这个

计算过程, 它真的很奇妙：

因为分母 (sec(x) + tan(x)) 的导数恰恰等同于分子.

sec(x) 的二次幂该怎样计算呢？这个不需要太费力气：

很容易计算. 不幸的是, 更高次幂就很难计算了. 不过, 基本思想

2
是把 sec (x) 提出来 (这同我们前面处理 tan(x) 的幂很相似), 用分

2
部积分法, 应用 dv = sec (x)dx 并把 u 设为余下的 sec(x) 次幂. 也

就是说, v = tan(x) (记住在这里不需要常数项). 当用分部积分法时,

自然会得到一个新积分; 被积函数应该是一个 sec(x) 的更低次幂乘以

2
2
2
tan (x). 我们需要再一次使用 tan (x) = sec (x) - 1 并得到两个积
分, 而其中一个就是原始积分的倍数! 你需要把这个放回等式的左边.

另一个是关于 sec(x) 的更低次幂, 你需要重复整个过程直到剩下

2
∫sec(x)dx 或 ∫sec (x)dx, 这两个积分的结果我们已经知道了.

这是一个技术解释, 我们来看一个很难对付的例子：计算

2
6
∫sec (x)dx. 我们先把 sec (x) 提出来, 即