Page 862 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)
P. 862
19.3 关于三角换元法的积分
现在, 让我们看看怎样计算关于二次函数平方根的奇次幂的积分. 一些典型的例子有
或 或 .
2
2
2
2
2
2
基本思想是：有三种情况, 分别为 a - x 、x + a 、x - a , 这里 a 为常数. 例如上面的第一个积分是
2
2
2
2
2
当 a =2 时 x - a 的情况, 第二个积分是当 a =3 时 a - x 的情况, 第三个积分是当 时 x +
2
a 的情况. 这三种情况要求不同的换元法. 大多数的情况下, 在换元之后, 都会得到一个关于三角函数的幂
的被积函数, 这正是我们在前几节见过的. 下面我们一次研究一种情况, 最后再做个总结.
19.3.1 类型 1：
如果你遇到关于 的奇次幂的积分, 正确的换元是使用 x = a sin(θ). 如果你喜欢也可以使用 x =
a cos(θ), 但这并没有任何优势, 所以我们依然使用正弦函数, 因为这个替代很有效果：
现在可以容易地求平方根. 请记住, 如果你把变量从 x 改到 θ, 那么就该由从以 x 为变量转到以 θ 为变量
的积分. 也就是说, 积分符号里的每一个 x 都要用 θ 来表示. 具体地, 我们需要用带有 θ 的变量以及 dθ
表示 dx. 没问题, 仅仅需要对方程 x = a sin(θ) 求微分就可以得到 dx = a cos(θ)dθ. (这种类型的替代
在 18.1.2 节和 18.1.3 节中讨论过, 但当时是以 x 为变量而不是以这个替代变量求解.) 无论如何, 现在
积分是以 θ 为变量了, 但在最后还需要再换回到以 x 为变量的积分. 为此, 我们要画一个锐角是 θ 的直角
三角形, 这会很有帮助 (如图 19-1 所示).
图 19-1
