Page 865 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

幸运的是, 这个绝对值对于类型 1 和类型 2 没有必要 (但对于类型 3 就不是这样了), 所以我们所做的一
切是正确的. 这个观点将会在 19.3.6 节中详细讨论.

19.3.2 类型 2：

2
如果一个积分是关于 的奇次幂, 那么正确的换元是 x = a tan(θ). 这种方法很有效果, 因为 x +
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a = a tan (θ) + a = a (tan (θ) + 1) = a sec (θ). 并且我们需要知道 dx = a sec (θ)dθ. 因为
tan θ = x/a, 所以这个三角形如图 19-5 所示.

图 19-5

现在我们来看这个例子：

2
2
这里使用换元法, 设 . 我们有 , 并且注意 x +15 = 15 tan (θ) + 15 =
2
15 sec (θ). 这个积分变为

2
-5
(我们再一次做了一件有风险的事情：用 15 -5/2 sec (θ) 替代 (15 sec (θ)) -5/2 , 完全忽略了绝对值符号.
(如果你提前阅读了 19.3.6 节, 就会知道其中的原因了.) 我们仍然需要计算 15 ∫cos (θ)dθ. 让我们使
3
-2
用 19.2.1 节中的方法. 请注意被积函数是 cos(θ) 的奇次幂, 所以我们可以提出一个 cos(θ) 项, 用
sin(θ) 做换元：