Page 869 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这种方法的准则是, 带有一次项的二次函数可以通过配方再换元的方法求得结果.

19.3.5 关于三角换元法的总结

让我们用一个表格来总结刚才使用过的针对三种类型积分的换元法：

类型 1: 类型 2

设 x = a sin(θ)
设 x = a tan(θ)
dx = a cos(θ)dθ 2
2
2
2
2
a - x = a cos (θ) dx = a sec (θ)dθ
2
2
2
2
x + a = a sec (θ)

2
2
2
2
下一节将要介绍遇到 a cos (θ) 和 a tan (θ) 情况时, 什么时候 (及为什么) 可以去掉绝对值符号. 你第
一次遇到这种情况时, 可能会忽略它, 但之后又不得不重新考虑.
19.3.6 平方根的方法和三角换元法

我们以前提过, 这一节可能会有些繁琐. 你还跟得上吗？很好, 现在我们回到类型 1. 我们直接把

化简为 a cos(θ), 完全忽略了 cos(θ) 的绝对值. 实际上, 我们写 x = a sin(θ) 时, 是在说 θ =
-1
sin (x/a).

-1
但 θ 在哪里呢？很好, 从 10.2.1 节中, 我们知道 sin 的范围是 [-π/2, π/2]; 也就是说, θ 在第一或第四
象限, 所以 cos(θ) 一直都是非负的. 在此, 我们不需要任何绝对值符号!