Page 870 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

类型 2 也是同样的. 在这种情况下, 我们把 化简为 a sec(θ). 可以不使用绝对值吗？我们设 x
-1
-1
= a tan(θ), 所以 θ = tan (x/a). 因为 tan 的值域是 (-π/2, π/2), 所以这次的 θ 也在第一或第四象
限. 就是说, sec(θ) 一直都是正的, 所以此次我们也不需要绝对值符号.

但对于类型 3, 我们就不这么走运了. 这次我们需要化简 , 但它的结果不一定为 a tan(θ). 你看,
-1
因为 x = a sec(θ), 我们有 θ = sec (x/a). 如果你看看 10.2.4 节, 会发现 sec 的值域是 [0, π], 但
-1
不包括 π/2 这一点. 所以 θ 在一二象限, tan(θ) 既可能为正也可能为负. 但至少它同 x 有着同样的符号,
-1
可以通过 y = sec (x) 的图像来判断.

所以当 x > 0 时, 我们认为 . 另一方面, 当 x < 0 时, 我们需要写为 - a tan(θ). 在这

种情况下, 三角形如图 19-9 所示.

图 19-9

一个三角形有两条边是负的 (分别是 x 和 ), 这确实有些怪异, 但这却便于我们记忆, 因为这个三

角函数的所有符号都是正确的. 在 19.3.3 节的例子

中, 我们知道当 x > 0 时, 这个积分的结果为

(当 x > 0 时, x 实际上要大于 2, 否则分子中的 项就失去意义了.) 现在让我们重新计算当 x < 0

时的情况. 我们仍然设 x = 2 sec(θ), 但是现在要用 -2 tan(θ) 替代 . 与之前唯一的不同就是负
号：