Page 868 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 19-8

问题是我们需要知道 sin(2θ) 的值. 为了计算这个数值, 要使用三角公式：

由此可知 , 再把它们带回到原结果中, 可得

请记住, 它仅当 x > 0 时才成立. 我们将在 19.3.6 节中重视这个例子, 并考虑 x ≤ 0 的情况.

19.3.4 配方和三角换元法

在我们总结这种方法之前还有一点需要说明. 有时, 你可能需要求解关于 的奇次幂的
积分. 也就是说, 你有了一次项 ax, 这样情况就复杂了. 求解这个积分的方法很简单：我们可以配方, 然后

做替代得到刚才介绍的三种情况. 例如, 计算

首先配方 (参见 1.6 节的配方方法)：

所以, 要计算的积分实际上是

设 t = x - 2, 所以 dt=dx, 那么这是一个以 t 为变量的积分了：

这就得到了一个在 19.3.2 节中已经计算过的积分! 该题目的答案是 (此时以 t 为变量)：

用 x - 2 替代 t, 得到