Page 871 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们回到以 x 为变量的状态, 需要使用一个修正的三角形 (如图 19-10 所示).

图 19-10

因此, 实际上 . 注意 sin(θ) 实际上是大于零的, 因为 x < 0. 现在再带回
到原积分可得到

这就是当 x < 0 时的答案, 同我们刚才的答案几乎是一样的, 只是 sec 的反函数需要一个负号. 当然, 常

数 C 同 x > 0 时的 C 是不同的. 为什么呢？因为我们正在寻找一个函数使它的导数为 , 它的
定义域为 (∞, -2) ∪ (2, ∞). 所以, 它的反导数实际上分为两部分, 每一部分可由另一部分上下平移而得.
总而言之, 完整的答案是：

其中 C 和 C 是不同的. 我们其实遇到过这样的积分, 例如 ∫1/x dx, 它的积分结果里就有两个常数. 参见
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17.7 节. 在实际应用中, 遇到类型 3 的问题时, 我们常常只考虑 x > 0 时的情况. 这样可以避免上述繁琐

的情况, 并且取平方根不用担心符号. 但当 x < 0 时, 你需要注意更多细节.

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