Page 872 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

19.4 积分技巧总结

我们已经介绍了很多计算积分的方法. 问题是, 对于一道计算积分

的题应该使用哪种方法呢？有时这不容易, 你可能在发现正确方法之

前要试很多种不同的方法, 甚至需要把多种方法混合在一起. 下面是一

些帮助你解决问题的技巧.

当你看到题目时, 会发现一种显而易见的换元, 那就试试它. 例如,

被积函数中的一部分是另一部分的导数, 那么就使用 t 做换元.

如果 这种形式出现在被积函数中, 就像在 18.1.2 节那

样, 设 .

对于有理函数的积分 (也就是说, 两个多项式的商), 看分子是否为

分母导数的倍数. 如果是, 可以通过设 “t = 分母” 来计算. 另外,

也可以使用部分分式法 (参见 18.3 节).

若观察后没有发现明显的换元可用, 可使用这一章介绍的方法：

关于 或 的函数, 使用倍角公式;

2
2
2
2
关于 1-sin (x)、1-cos (x)、1+tan (x)、sec (x)-1、
2
2
csc (x)-1 或 1+cot (x) 的函数, 使用毕达哥拉斯恒等式：