Page 876 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

20.1 收敛和发散

到底什么是反常积分？在第 16 章, 我们见过积分

该被积函数 f 如果在 [a, b] 区间内是有界的, 并是连续的 (如有有限个

间断点也可), 那么这个积分就是有意义的. 如果这个积分有无限多个不

连续点, 该积分也可能是有意义的 (参见 16.7 节中的例子). 但如果函

数 f 不是有界的, 情况又怎样呢？这就是说, 当 x 在区间 [a, b] 内时,

函数 f 的值越来越大 (正方向或负方向, 或两个方向). 当函数 f 在这个

区间有一条垂直渐近线时会出现这种情况：函数在渐近线附近变得很

大, 且没有界限. 这就使上述积分成了反常积分.

即使函数 f 是有界的, 也会出现一种不同类型的无界. 这个闭区间 [a,

b] 实际上是无界的, 如 [0, ∞)、[-7, ∞)、(-∞, 3], 甚至 (-∞, ∞). 这也

使这个积分成为反常积分.

所以, 如果出现下面的情况, 积分 就是反常积分：

(1) 函数 f 在闭区间 [a, b] 内是无界的;

(2) b = ∞;