Page 878 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

如果我说积分 是上图中阴影部分的面积 (平方单位), 那么我是

在说谎. 问题是, 由于是垂直渐近线该区域会一直延伸到这页的最上部

且还会一直延伸下去, 该区域越来越狭长.

由于该区域不停地向上延伸, 那么其面积就是无限的. 这个结论是正确

的吧？ 不一定. 如果该区域足够狭长, 那会出现一个数学奇迹, 面积就

是有限的了. 为了研究什么情况下一块无限区域的面积会是有限的, 我

们需要使用极限. 其基本思想是：设 ε 是一个很小的正数, 函数 f 在区

间 [a + ε, b] 上是可积的, 因为函数 f 在此是有界的. 你会得到一些有

限的数. 现在, 用一个更小的数 ε 去重复这种情况, 你会得到一个新的

有限的数, 如图 20-2 所示.

图 20-2

数 ε 越小, 我们对这块无限区域的估算就越接近于真实值. 这说明, 我

+
们应该用越来越小的 ε 重复这个过程, 当 ε → 0 时, 看看我们是否会

得到一个极限 L. 如果可以, 我们就把 L 解释为正在计算的这块区域的