Page 879 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

面积. 在这种情况下, 我们说积分 收敛于数 L. 如果没有极限,

我们就不能对于这块区域找到一个有意义的答案, 只能放弃寻找, 认为

该积分是发散的. 注意：如果积分不是反常积分, 那么它自然收敛!在实

践中, 只要这个函数是有界的且区间 [a, b] 是有界的, 那么就可以说这

样的积分是收敛的, 因为它甚至不反常. 它仅仅是一些有限的数.

现在, 当在 x = a 处有破裂点时, 我们有：

在此假设这个极限存在. 如果能找到这样的极限, 我们就说这个积

分收敛; 否则认为该积分发散. 就像其他的极限一样, 由于极限的结果

+
可能为 ∞ 或 -∞, 或当 ε → 0 时它的图像上下振荡, 因而这个极限可

能没有意义.

这让我们认识到非常重要的一点. 当看到一个反常积分时, 我们需要知

道的一件非常重要的事情是：它是收敛的还是发散的. 这个积分的收敛

值是多少并不是很重要 (假设它是收敛的). 在实际中, 如果你知道积分

是收敛的, 可以通过复杂的计算求得收敛值. 如果积分是发散的, 而你

使用计算机估算这个积分值, 那么可能会得到意想不到的结果. 计算机

还不能真正理解无限或疯狂的上下振荡.