Page 880 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

20.1.1 反常积分的一些例子

考虑两个积分：

和 .

这两个都是反常积分, 因为它们的被积函数在 x = 0 点都有垂直渐近

线. 所以我们可以使用刚才方框里的公式. 在第一种情况下, 我们有

+
(我们使用了这些性质：ln(1) = 0; 当 ε → 0 时 ln(ε) → -∞.) 因为得

到的答案是正无穷, 所以这个反常积分是发散的. 第二个积分的情况又

如何呢？再次使用公式, 我们有

我们得到了一个有限的数, 所以这个积分是收敛的. 我们已经证明了这

个积分收敛于 2, 但如上节最后所述, 我们并不在意收敛值, 主要研究它

是收敛的还是发散的, 而不是收敛于多少.

我们得到了什么？为什么反常积分 是发散的, 而

却是收敛的？毕竟, 两个积分的图像 y = 1/x 和 是非常相似

的 (如图 20-3 所示).