Page 883 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们已经证明了, 一个反常积分在有界区间的收敛或发散是由它的被积

函数在非常接近破裂点时的走势决定的. 在具体情况下, 因为我们知道

积分 是发散的, 所以可以得出

这些积分都是发散的. 另一方面, 因为 是收敛的, 我们也可

以说

这些积分是收敛的. 所有的这些都是发生在 x = 0 的垂直渐近线附近.

20.1.2 其他破裂点

对于积分 , 如果函数 f 仅仅在积分上限 b (而不是 a) 是无界

的, 那么我们可以应用刚才的方法. 仅仅的不同是, 我们这次需要从左

方而不是右方趋于 b. 所以

在此假设这个极限存在; 如果它不存在, 那么像前面的例子一样, 它是

发散的.