Page 882 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

散的. 这时, b 的值对我们没有影响, 可以把它换成任意大于 a 的有限

的数, 只要不选择新的垂直渐近线或新的破裂点. 之所以这样说, 首先

请看 (根据定义)：

在此假设这个极限存在. 现在让我们把 b 换成其他任意的数 c, 但要比

数 a 大. 如果 x = a 依然是函数 f 的破裂点, 那么我们有

再次假设极限是存在的. 我们可以在 x = b 点把最后一个积分分开

(16.3 节介绍过这种方法) 而得到

ε 对第二个积分没有任何影响; 实际上, 因为函数 f 在 b 和 c 点之间是

有界的, 所以这个积分收敛于一个数 M . 我们已经证明了

如果右侧的极限存在, 那么积分 收敛. 增加一个数 M 它仍然

为有限的, 所以 还是收敛的. 相反, 如果极限不存在, 这时增加

一个数 M 对情况也没有影响, 所以 和 同时发散.