Page 886 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

20.2 关于无穷区间上的积分

现在要研究当积分上下限有一个或同是无穷时的情况; 也就是说, 积分

区间是无界的. 为计算

其中 a 是常数, 函数 f 在区间 [a, ∞) 没有破裂点, 我们需要使用另一

个极限方法. 这次, 我们对 [a, N] 区间求积分, 其中 N 是个很大的数.

这会给出一个非常好的值且是有限的. 随着 N 值的增大, 我们重复这

个过程, 会得到不同的计算结果. 继续计算, 看看最后的积分结果到底

是多少. 如果极限确实存在, 那么这个积分是收敛的; 否则它就是发散

的. 用符号来表示, 我们可以定义

在此假设这个极限是存在的. 在这种情况下, 这个积分是收敛的; 否则

它是发散的. 同 20.1.1 节中最后描述的原因一样, a 的值与计算结果

无关. 所以只要你不选择函数 f 的新的破裂点, 那么 a 的值对广义积分

的收敛还是发散就没有任何影响. 仅仅需要考虑的是当 x 非常大时, 函

数 f (x) 的走势怎样.