Page 933 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

3 -x
-x
重要的一点是：若说当 x → ∞, x e ~ e 就大错特错了. 它
-x
是不正确的. 如果是正确的, 就可以消掉正项 e 而得到结论当 x → ∞,

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x ~ 1. 这才是瞎说. 所以, 你应该对前一个例子采用比较判别法而不

是极限比较判别法.

现在来看积分

我们要做一点点的工作. 被积函数因有 sin(x) 项而看起来在正值和负

值之间振荡, 不过这不是事实, 因为 sin(x) 的大小不足以影响正数

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x 1000 + x (x ≥ 10) 的符号. 不管怎样, 第一个观察的结果是当 x →

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∞, x 1000 + x + sin(x) ~ x 1000 , 因为 x 和 sin(x) 项的作用被
x 1000 抵掉了. (若想知道如何给出更专业的解释, 见前一节.) 故我们乘

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以 e -x +6 得

当 x → ∞ 时, .

利用极限比较判别法, 我们只需知道积分

收敛还是发散. 原积分也需要做相同讨论. 现在需要小心了, 因为指数

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项 e -x +6 没有合适的渐近等价对象, 这里我们需要采用基本的比较方